Объяснение фрактальной размерности.
Помогите финансировать будущие проекты: / 3blue1brown
Не менее ценная форма поддержки — просто поделиться некоторыми видео.
Особая благодарность этим сторонникам: https://3b1b.co/fractals-thanks.
И Affirm: https://www.affirm.com/careers
Домашняя страница: https://www.3blue1brown.com/
Одно техническое замечание: фракталы могут иметь целочисленную размерность. Примером, который следует иметь в виду, является некоторая очень грубая кривая, которая, так получилось, достигает уровня шероховатости ровно 2. Слегка шероховатая может иметь размер около 1,1; довольно грубо, может быть 1,5; но очень грубая кривая может достигать 2,0 (или более). Классическим примером этого является граница множества Мандельброта. Пирамида Серпинского также имеет размерность 2 (попробуйте вычислить ее!).
Правильное определение фрактала, по крайней мере, в том виде, в каком его написал Мандельброт, — это форма, «хаусдорфово измерение» которой больше, чем ее «топологическое измерение». Размерность Хаусдорфа аналогична размерности для подсчета коробок, которую я показывал в этом видео, в каком-то смысле при счете используются шары вместо коробок, и во многих случаях она совпадает с размерностью для подсчета коробок. Но это более общий подход, но его сложнее описать.
Топологическое измерение — это нечто, что всегда является целым числом, причем (грубо говоря) кривые объекты являются одномерными, поверхностные — двумерными и т. д. Например, кривая Коха имеет топологическую размерность 1, а размерность Хаусдорфа — 1,262. Шероховатая поверхность может иметь топологическую размерность 2, но фрактальную размерность 2,3. И если кривая с топологической размерностью 1 имеет хаусдорфовую размерность, которая оказывается равной ровно 2, или 3, или 4 и т. д., она будет считаться фракталом, даже если ее фрактальная размерность является целым числом.
Подробную информацию и дополнительные примеры см. в книге Мандельброта «Фрактальная геометрия природы».
Музыка Винса Рубинетти: / riemann-zeta-function
Информация по комментариям в разработке